034: Milan Horemuž om differenser och utökad mätosäkerhet – del 2

Välkomna till Mätpodden nummer 34 har det blivit. Det här är del två av intervjun med Milan som kommer rulla nu. Vi börjar med att prata om vad han säger eller tänker kring skillnaderna på de här nya lågpris-GNSS-RTK-mottagarna och de här dyra som vi känner igen. Vad kan man säga om hårdvaran, och vad är skillnaderna? Sedan kommer vi in på räkneexempel kring mätosäkerhet. Väldigt bra siffror, bra att kunna.

Man kan också gå kurs hos Milan. Man kan boka specifika kursdagar, eller vidareutbildningar på KTH som yrkesverksam om man vill fördjupa sig i det här. Eller så kan man läsa i HMK om sånt här också, om man triggas och vill förstå mer av det man faktiskt håller på med.

Vill man förstå mer om vad man håller på med, då kan man gå in på landskaparen.se och boka kurs. Förstå hur praktisk inmätning fungerar, hur man mäter in, hur GNSS fungerar, ännu mer grundläggande praktiska genomgångar också, och hur man kan få färdiga modeller även om man bara har PDF:er i sin hand, så att de blir snygga och fina och kunden fattar vad man vill ha. Och alla förstår vad man vill ha, och maskinisten har någonting att gräva efter. Toppen, toppen.

Då rullar vi den här intervjun, så hörs vi nästa gång igen.

Men vi skulle kunna prata lite om vad dina erfarenheter är mellan nya generationers mottagare. Det finns ju väldigt dyra, de här stora namnen vi känner igen, och sen finns det en uppsjö alltifrån kanske 20 000 kronor upp till tio gånger mer eller ännu mer för mottagare. Tittar man på dataspecarna så är de ju rätt så lika. Det finns ett chip som är väldigt vanligt i många av de här lågprismottagarna, och det har ju typ 7 mm plus någon ppm. Den är någon millimeter sämre än till exempel en Leica eller Topcon och så, men den är ju väldigt bra.

Vad är din erfarenhet kring de här billigare mottagarna, och skillnaden mellan förra generationen och den här generationens mottagare, utifrån det du har läst och sett?

Om man tittar på själva kod- och fasmätning skulle jag våga säga att de är likvärdiga. Osäkerheten på fasmätning blir 2 mm oavsett vilket märke man tar. Det som är skillnad, och kan vara skillnad, är hur bra antennen är och hur bra algoritmerna är på att upptäcka och filtrera bort multipath. Där kan det vara skillnad mellan dyrare och billigare.

Till exempel, om man köper så kallade choke ring-antenner, sådana antenner som finns på SWEPOS-stationer…

Jag har läst om choke ring-antenner, men vad är det för någonting?

Det är en antenn som har en större tallrik, och på den här tallriken finns vertikala ringar som omringar själva antennsensorn. De här ringarna blockerar signaler som kommer från sidan.

Okej, så det är att den fysiskt skär av låg-elevationssignaler?

Ja, så de studsade signalerna når inte fram till själva antennen. Sådana antenner kan kosta tiotusentals kronor bara för antennen. Naturligtvis, om vi har GNSS-mottagare i mobilen, då skulle vi inte ha råd att köpa sådana.

Eller få plats med dem i fickorna.

Precis. Det finns enklare och billigare antenner, och jag skulle säga att antennen är den största skillnaden. Den andra skillnaden är algoritmerna, alltså bearbetningsalgoritmerna.

Det är framför allt de stora företagen som har råd och som också har forskning kring detta. De är alltid först när det finns någon förbättring eller ny kunskap. De är först med att implementera den.

Tittar man på papers och forskningsrapporter så ser man ju att de här dyrare är bättre. Marginellt bättre i öppen miljö, så känns det som att det är svårt att säga någon skillnad. Men direkt när det blir brusigt och närmare väggar, under träd och så, då…

Precis. Där ser man fördelen med bra antenn och bättre bearbetningsalgoritmer.

Men sen är det ju natt och dag. Jag vet, jag mätte länge med Leica GS14, och nu är den ju nästan tio år gammal. Det var svårt att få fix direkt när det var något träd i sidan, det räckte med rätt lite. Men en ny lågprismodell får väldigt mycket lättare fix och mätvärden. Även när man tittar på datat känns det som att om man jämför en jättebra modell för tio år sedan med en billigare modell i dag så har tekniken gått framåt väldigt mycket. Chippen har gått ner i pris otroligt mycket och blivit så mycket bättre på alla sätt.

Ja, och det är framför allt på grund av att man i dag kan bearbeta svagare signaler. Förut, om man var under träd, då var det nästan omöjligt att mäta. I dag klarar de flesta lite löv och sånt.

Vad är det som gör att de kan bearbeta svagare signaler? Är det att antennen är bättre, eller algoritmerna, eller vad är det som gör det?

Om man har en antenn som kan ta emot svagare signaler, då kan naturligtvis mottagaren förstärka den här signalen. Men när man förstärker signalen förstärker man också bruset. Och om man då har bra bearbetningsalgoritmer kan man separera brus från signal. Så det är både antenn och signalbearbetning som spelar in.

Jag tänker då att om man går ner till praktiken när man mäter, och tänker kring det här med osäkerheter: man har satt ut på en arbetsplats eller ute i fält med sitt nätverks-RTK, och så kommer man tillbaka och så skiljer det 50 mm. Vad gör man då? Säger man: ”Äh, min utrustning funkar inte”? Hur tillämpar man det här med att jag kanske har 10–20 mm planosäkerhet? Hur tänker jag? Vad säger matematiken och statistiken? När kan jag säga att ”nu funkar det inte”, eller att det bara är osäkerhet i min mätning?

Man utför upprepade mätningar. Vi har redan sagt att det är normalt att få variationer, och hur mycket variationer man får beror på vilken förväntad osäkerhet vi har för vår utrustning.

Om vi till exempel använder SWEPOS-tjänst och vet att vi är i projektanpassat område, inom en kilometer mellan punkterna, då vet vi att horisontal osäkerhet borde vara mellan 10 och 15 mm. Om vi tar 15 mm som den sämre gränsen, då kan vi enkelt beräkna vilken tolerans mellan två mätningar vi kan förvänta oss.

Om vi har två mätningar och båda har 15 mm osäkerhet, då kan vi beräkna osäkerheten i differensen mellan dessa två mätningar. Om vi har två koordinatbestämningar kan vi beräkna avståndet mellan koordinaterna. Om det här avståndet är längre än toleransgränsen, då kan vi konstatera att systemet inte fungerar som förväntat.

Varför det blir så kan ha olika orsaker. Det kan vara dålig satellitgeometri, mycket störningar i jonosfären, någon stor metallyta som reflekterar signalen, stor multipath och så vidare.

Det jag skulle rekommendera alla i praktiken, om man ser stora skillnader mellan upprepade mätningar, är att kontrollera jonosfärsmonitor som är tillgänglig via Lantmäteriets webbsida. Om man ser att den är i rött område, då är det värt att vänta någon timme tills jonosfären lugnar sig och sedan genomföra mätningen.

Men frågan är då hur vi definierar den här toleransgränsen. Man måste välja en viss konfidensnivå. Vi har redan nämnt att man vanligtvis väljer 95 procents konfidensnivå, vilket motsvarar två gånger standardosäkerheten.

Om vi till exempel har 15 mm i en mätning, hur stor blir osäkerheten i differensen? Den kan vi beräkna genom att ta roten ur 15 i kvadrat plus 15 i kvadrat. Vi har två mätningar, båda med 15 mm. Det är samma sak som roten ur 2 gånger 15. Det blir ungefär 21 mm. Så standardosäkerheten för det här avståndet mellan de två koordinaterna är 21 mm.

Om vi vill välja 95 procents konfidensnivå, då multiplicerar vi de 21 mm med 2 och får 42 mm. Så om avståndet mellan de två beräknade koordinaterna är större än 42 mm, då har det hänt någonting som vi inte förväntade oss. Då ligger vi utanför gränsen. Om det är inom 42 mm, då är det normalt.

Det är bara osäkerheten i systemet. Så två för utökad mätosäkerhet gånger kvadratroten ur två för differensen gånger din mätosäkerhet i mätningen.

Så hade man haft 10 mm, då blir det kvadratroten ur två, som är 1,41, gånger två. Ja, på det sättet. Det är väl en bra tumregel när man mäter differens. Det här gäller så klart alla mätningar som du har med samma osäkerhet.

Om man har upprepade mätningar, två mätningar, då kan man bedöma med den här tumregeln. Ännu enklare är kanske att om man tar två gånger roten ur två, då är det ungefär 2,8, och man kan avrunda det till tre.

Så i praktiken: om man tar tre gånger standardosäkerheten för en mätning, då är man ungefär där.

Där har vi en bra tumregel. Tre gånger osäkerheten. En enkel tumregel i fält: är skillnaden mellan dina mätta punkter mer än det, då är det någonting som är onormalt.

Hur förbättrar man sin noggrannhet då? Man tänker att medelvärdesbildning förbättrar. Hur påverkar det statistiskt?

Naturligtvis, om man upprepar mätningar flera gånger och beräknar medeltalet, då har medeltalet lägre osäkerhet än en enskild mätning. Standardosäkerheten i medeltalet minskar med roten ur n, där n är antalet mätningar.

Om vi har 100 mätningar är roten ur 100 lika med 10, så standardosäkerheten från 100 mätningar är tio gånger lägre än standardosäkerheten i en mätning.

Så på det sättet kan man ju krympa det. Är det så man kan avgöra millimeterskillnader med GNSS, att man medelvärdesbildar väldigt mycket och då minskar osäkerheten?

Till exempel SWEPOS-stationer, de är beräknade med långa tidsserier av mätningar. Där ser man att standardosäkerheten i plan ligger på 1 till 2 mm. För att uppnå 1 till 2 mm behöver man många, många mätningar.

Där måste det väl också vara så att de är oberoende? Om man introducerar den tanken, att det är oberoende mätningar. Det hjälper ju inte om jag ställer mig på en punkt och trycker på medelvärdesbildning och väntar 100 mätningar. Då kan jag inte tillämpa den här formeln, eller hur?

Det stämmer. Den här formeln gäller för normalfördelade mätningar, och sådana finns sällan i verkligheten.

Vi har inte pratat så mycket om det, men vad är det som gör att… för så här är det ju i praktiken. Det märker man om man tittar på sina siffror. Jag har en sten hemma som jag testar väldigt mycket på, lite under löv, som experimentpunkt här hemma. Om jag mäter 100 medelvärden nu och så väntar jag och gör det på eftermiddagen, så är det ju väldigt stor skillnad på dem. Jag har mätt på den hela året lite då och då när jag får tid över, både förmiddag och eftermiddag och lite olika tider. Det kretsar ju kring samma, men man får ju det här brusiga datat.

Kan man säga något om när mätningarna är oberoende av varandra, och hur man kan tänka där? Om man har en praktisk tanke om att man vill sätta en arbetsfix på en byggarbetsplats. Det är inte så höga krav. Jag sätter en höjd med GPS. GPS-höjden kanske blir 30 mm i osäkerhet. Hur kan jag sänka den osäkerheten med GNSS- eller RTK-mätning?

Du har helt rätt. Om man upprepar mätningar inom kort tidsintervall kommer de att likna varandra väldigt mycket, eftersom vi har samma satellitkonfiguration och samma felkällor.

Till exempel, om vi har multipath: låt oss säga att vi har ett tak i närheten och en satellitsignal som studsar från det här taket. Under några sekunder har vi nästan samma multipath-effekt, eftersom satelliten inte har ändrat sin position under den korta tiden. Då får vi många mätningar med samma storlek på felet.

Om vi hade normalfördelade fel, då skulle de hoppa fram och tillbaka så att varje ny mätning har ett slumpmässigt värde. Men i praktiken är GNSS-felkällor tidskorrelerade. Det betyder att om man tittar på två mätningar som ligger nära varandra i tiden, så är storleken på felkällorna ungefär samma. Felen ändras långsamt i tiden.

Hur långsamt det går beror på omgivningen. Man har gjort ganska många tester, och det finns flera artiklar som behandlar den här problematiken. Man har kommit fram empiriskt till att man kan betrakta mätningar som oberoende om tiden mellan mätningarna är mellan 20 och 40 minuter.

Och igen, 20 till 40 minuter är ganska stor skillnad. Det beror framför allt på omgivningen, hur mycket multipath det är på platsen. Det beror också på troposfären och jonosfären, eftersom de också ändras kontinuerligt och långsamt i tiden.

Trafikverket har ju för enklare uppdrag något sådant här, och det kanske beskrivs i någon checklista hos Lantmäteriet också. Alltså att man ska medelvärdesbilda fyra gånger: två stycken på typ förmiddagen med 20 till 40 minuters mellanrum, och sedan ska det gå minst fyra timmar, max åtta timmar, till ett mätpar till som också är 20 till 40 minuter emellan. Det måste väl vara så att du i praktiken får fyra oberoende värden, och då är kvadratroten ur fyra två, och då har du hälften av mätosäkerheten.

Hur långt kan man dra det där? Om man gör det här tio dagar i rad, då skulle jag ha fyra gånger tio, alltså 40. Skulle det stämma då att jag kan ta min mätosäkerhet delat med kvadratroten ur 40, eller måste man bryta ner det någonstans?

Teoretiskt kan man göra det, om man antar att mätningarna är oberoende. Om man lägger till flera mätningar minskar standardosäkerheten med roten ur n. Men i praktiken, om vi tar dag efter dag-mätningar, så upprepas satellitkonfigurationen. Den konfiguration vi har klockan 12 i dag kommer att vara nästan exakt samma i morgon klockan 12, minus ungefär fyra minuter. Så de mätningar som är nästan 24 timmar separerade från varandra är inte helt oberoende.

Också en faktor.

Ja. Som sagt, för normalfördelning fungerar roten ur n, men i praktiken måste man vara försiktig.

Ja, ta fram avvägaren och gå med din fix. Intressant. Det kanske inte har ett exakt svar, men hur skulle man kunna tänka kring ett scenario då? Jag har skrivit till dig i förhand om det här, men ett praktiskt exempel där jag har en mätning och vill kontrollera den, se lite skillnader och bedöma om det är någon signifikant skillnad.

Om jag beskriver scenariot lite så kan du kommentera hur du skulle resonera. Jag har fått en markmodell som jag hjälpt till att göra ett anbud på. Då har jag tillhandahållit höjdkurvor och de är genererade från lidar-data. Då kanske man kan säga att det är 100 mm standardosäkerhet på den här ytan i den här lidar-datan om man tittar på dataspecen.

Sedan har man röjt den här ytan från sly och skog, och sedan har jag mätt in den med GNSS, bara sprungit över den en gång, medelvärdesbildat fem sekunder, så som man ungefär ska mäta ytan. Då konstaterar jag att de här ytorna skiljer ungefär 7 cm åt i medelvärde. Det är ungefär 600 punkter som vi har mätt över ungefär en hektar.

Rent spontant tänker jag: hade det varit 20, 30 eller 40 mm så hade jag inte ens funderat på det, för det är GNSS. Hade det varit 100–150 mm skillnad så känns det direkt som att det måste vara någon faktisk skillnad. Här blev det 7 cm skillnad. Någonstans i spannet 5 till 10 cm känns det mer osäkert. Vad är en äkta skillnad? Hur går jag vidare från det här? Hur säger jag att ”här måste man ta ett nytt grepp”, och vad är den faktiska skillnaden? Vad får du för tankar?

Här kan vi tillämpa samma metodik som vi pratade om tidigare. Vi har två mätningar som vi jämför med varandra. Vi har en mätning som kommer från markmodellen, och enligt specifikationen har den 100 mm standardosäkerhet i höjd. Sedan har vi en mätning som kommer från GNSS. Om vi tittar på SWEPOS standardvärden för förväntad osäkerhet i höjd kan den vara, låt oss säga, 20 mm om man är i projektanpassat område.

Så: 100 mm för markmodellen och 20 mm för GNSS. Markmodellen har signifikant högre osäkerhet än GNSS. Om vi tillämpar lagen om felpropagering kan vi beräkna standardosäkerheten i differensen mellan GNSS och markmodellen som roten ur 100 i kvadrat plus 20 i kvadrat.

Det är vanliga lagen där man plussar ihop osäkerheterna, man kvadrerar dem och sedan tar kvadratroten ur allting.

Ja, man ska inte summera dem aritmetiskt, alltså 100 + 20, utan man måste ta 100 i kvadrat plus 20 i kvadrat och roten ur den summan. Då blir resultatet 102 mm. Så GNSS-mätningen bidrog bara med 2 mm till den här osäkerheten. I princip ligger all osäkerhet i markmodellen.

Om vi vill hitta vad som är en signifikant differens, då är det 102 gånger 2. Om vi har en differens större än ungefär 20 cm, då är det en signifikant differens.

Men du sa att du har mätt över en större yta och att det var konsekvent 7 cm. Var det konsekvent plus 7, eller var det ibland plus och ibland minus 7?

Nej, det trendar ju på plus. Om jag tar alla punkterna, för jag får ju en differens på varje, och sedan tar ett medelvärde på dem, så blir medelvärdet 70 mm.

Det här jag sa nu gäller jämförelse av enskilda mätningar. Men om vi har en yta och flera mätningar, då kan vi bilda medelvärdet av alla differenser, och sedan har vi standardosäkerheten för det här medelvärdet.

Vi kan beräkna standardosäkerheten i medelvärdet precis på samma sätt som vi pratade om tidigare, alltså att vi dividerar standardosäkerheten i en mätning med roten ur antalet mätningar. Då får man en annan tolerans. Då ska man beräkna toleransen som två gånger standardosäkerheten i medeltalet.

Om man har en sådan systematisk differens, även om den bara är 7 cm, som ligger inom det normala för en enskild mätning, så kan den ändå vara signifikant för medeltalet. Men som sagt, man kan beräkna det precis på samma sätt som vi pratade om tidigare: man beräknar standardosäkerheten för medeltalet.

Jag tänker bara att för medelvärdets osäkerhet var det ju delat på kvadratroten ur antal mätningar, men de skulle ju vara oberoende. Jag tänker här att jag har gått över en yta och har 600 mätningar, men det känns ju…

Men om det är 600 mätningar måste det ha gått en timme, eller?

Ja, det tar ju en timme eller två över en sådan yta.

Och då blir toleransen för medelvärdet… blir det då 0,07 delat på kvadratroten ur 600? Jag tänker lite högt här.

Nej, du ska inte dela 7 cm med 600.

Nej, men…

Du sa att det var 7 cm differens.

I medel. Om man tar ena modellen så ligger den i snitt 7 cm över. Den går ju plus och minus, men om man slår ut det…

Du måste beräkna hur de här differenserna varierar, och den variationen… du måste beräkna standardosäkerheten.

Ja, just det. Standardosäkerheten på variationen där, så jag får ett sigma-värde eller osäkerhetsvärde, och det är den jag delar. Ja, men då ska jag göra det här efteråt och kolla.

Det blir ju komplicerat att tillämpa det här på varje mätning, men det är väldigt bra när det finns en standard att följa.

Jag tror att jag vet vilken standard du menar. Det finns en tabell med steg-för-steg-beskrivning för hur man ska utföra sådana kontroller, och rekommendationer om antal punkter och hur många punkter man ska mäta.

Mäta kontrollprofiler, ja. Det är en väldigt underanvänd standard.

För en entreprenör blir det ju så här: ”Ja, men vi fick ju en siffra här, 7 cm, och jag mäter med en GPS. Jag har 7 cm skillnad. Jag vill ha betalt för 7 cm extra.” Men det går ju inte. Det man kan konstatera, oavsett om man gör kontrollprofiler eller det här, är ju att det finns en skillnad. Sedan måste man ju mäta in en gång till, och sedan måste man väl komma överens med beställaren att det här är gjort på ett bättre sätt, och då får vi förhålla oss till det.

Och vanligtvis, om man pratar om markmodeller, så är själva marken inte väl definierad i höjd. Du har stenar, du har olika ojämnheter, så det beror på var du ställer din stång. Markmodellerna är också generaliserade ytor, med viss upplösning.

Så är det. Men det var ett litet räkneexempel. Standardosäkerheten ska jag alltså räkna fram från differenserna. Bra.

Vill du säga något om rovris? Hur noggrant schablonmässigt det är? Det är väl rätt nära integrerad totalstationsmätning. Vad kan man säga schablonmässigt där? Jag vet att jag skickade över det som en fråga innan. Många använder sig av det som metod i dag.

Teoretiskt kan man uppnå 2 till 3 mm i plan och höjd, alltså standardosäkerhet för totalstationens koordinater. Men naturligtvis beror det i praktiken på hur många punkter vi använder för rovris-etablering, hur de är spridda, hur långt de är från totalstationen, och framför allt hur bra RTK-mätningarna är som vi använder.

Och om man håller staven bara med händerna, då är det inte speciellt stabilt. Så de här 2–3 mm är teoretiskt. I praktiken brukar det vara lite sämre.

Vi har tillsammans med WSP gjort ett test. De har mätt på Ostlänken 97 rovris-etableringar, och de gjorde avvägning för varje sådan inmät punkt. De beräknade differensen i höjd mellan rovris-resultatet och avvägningen. RMS i höjd, alltså roten ur summan av kvadraterna av alla differenser mellan rovris och avvägning, var 7 mm. Det är alltså ett värde som vi har bekräftat praktiskt på ganska många, 97 rovris-etableringar.

Då tänker jag: vad har man på en avvägare? Noll komma…

Ja visst, det finns osäkerhet också i avvägning.

Jag bara tänker att om du har långt till en fix och ska avväga, så blir ju sträckan lång. Hur långt från en fix kan man vara innan man kan förvänta sig att avvägningen från fixen till en punkt blir ungefär likvärdig med vad man kan göra med rovris? Det börjar jag fundera på.

Ja, det beror på vilket instrument och vilken metodik för avvägning man använder. Jag tror det finns precisa avvägare som har 0,2 mm per kilometer.

Men är inte finavvägning 0,3 mm per kilometer?

Som sagt, det finns olika instrument.

Och det är ganska många kilometer tills man kommer till 7 mm.

Då får man vara långt ifrån fixpunkten. Men 7 mm, ja, den var intressant, den där praktiskt framtagna siffran. Jättebra.

Det är ju ett djupt fält. Om man rundar av det lite så blir man ju nyfiken på mer, dels vad man kan läsa om själv och vad man kan fördjupa sig i på olika sätt. Det kanske inte går att rabbla upp allt, så det kanske är en lista man kan lägga med i avsnittsbeskrivningen. Men vad skulle du peka mot för resurser där man kan lära sig mer på egen hand eller i mer strukturerade former?

Jag skulle rekommendera att titta i HMK-böckerna. Det finns uppdaterade versioner tillgängliga via Lantmäteriets webbsida. Det finns också Lantmäteriets tekniska rapporter, där man har ganska detaljerade teoretiska beskrivningar kring endimensionell, tvådimensionell och tredimensionell mätosäkerhet och de här reglerna.

De beräkningsexempel som jag nämnde nu är förenklade. Om man tittar i teorin, alltså statistiskt exakt, då blir det inte till exempel tre gånger, utan 2,78 eller något sådant. De här täckningsfaktorerna är också lite olika beroende på om det är en-, två- eller tredimensionellt. Men för alla praktiska tillämpningar räcker de här förenklade reglerna. Det är inte så stora skillnader mellan dimensionerna.

Men vill man veta teorin bakom, då är de tekniska rapporterna väldigt bra. Sedan finns det också ett kompendium tillgängligt via vår webbsida, det vi har i fotogrammetrisk mätningsteknik. Det finns också fritt tillgängligt. Sedan finns det ett antal GNSS-böcker om man vill fördjupa sig i teorin bakom GNSS, hur det fungerar, fasmätningar, kodmätningar, felkällor och så vidare.

Man skulle haft en bok, teori i praktiken.

Men HMK-böckerna har ju praktikanvändare som målgrupp.

De har väldigt många bra exempel. De är ju enklare att se vad man behöver göra i. De har blivit jättefina, de här om GNSS-mätning och detaljmätning. Hur man gör är ju väldigt bra.

Jag vet att du håller kurser också utanför KTH som man kan gå som yrkesverksam. Hur går man tillväga om man vill gå en sådan kurs?

Vi har också ett antal kurser på KTH som vi erbjuder som vidareutbildningskurser. Det är ett begränsat antal kurser, och de är poänggivande. Vill man läsa en kurs som ger poäng, då är det sådana vidareutbildningskurser vi erbjuder.

I höst ges till exempel mätningsteknik. De övriga kurserna som vi har inom programmet är bara för programstudenter, så det är den enda kursen som vi har som vidareutbildningskurs. Men sedan går det också att beställa skräddarsydda kurser från oss. Vi har gett flertalet sådana kurser till olika företag. De kan komprimeras till en dag, några dagar eller några halvdagar. Det går att komma överens om vad man vill läsa, till vilket djup och hur länge.

Det är bra att känna till. Och då kan man kontakta dig?

Ja.

Jag lägger med texten. På tal om den där geodetiska kursen som man kan gå som vidareutbildning: vad är det för intagningskrav och liknande?

Nu har jag inte exakt formuleringen framför mig för antagningskraven. Men om man går in på KTH:s webbsida finns det en lista över fort- och vidareutbildningskurser, och där hittar man för varje kurs vilka antagningskraven är.

Men det är inga höga antagningskrav just för den här kursen. Det är någon grundläggande matematik som krav.

Intressant. Är det något annat som jag har glömt fråga dig som du tänker att det här vore roligt att berätta om?

Annars känner jag att jag har fått det. Det har varit väldigt intressant att lyssna på olika aspekter, lite om det akademiska livet, men också lite praktiskt om felkällor och mätosäkerhet.

Ja, det var roligt. Det finns säkert många andra roliga och intressanta ämnen som vi skulle kunna prata om, men jag tycker att vi har täckt ganska bra det som vi planerade att göra. Det tog lite längre tid än planerat, men det var kul.

Jag tackar för din tid så mycket.

Tack så mycket.